22年数学一的一道大题，在网课班里做到过印象深刻。在这边记一下，主要也试试在hexo上贴$\LaTeX$的效果
下面是原题和过程
设$f(x)$在(-$\infty$,+$\infty$)上有二阶连续导数，证明：$f’’(x)\ge0$的重要条件是对于任意实数a,b,有$f\bigl(\frac{a+b}{2}\bigr)\le\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$
根据泰勒公式得：
$$
f(x) = f(\frac{a+b}{2})+f’(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})+\frac{1}{2}f’’(\xi)(x-\frac{a+b}{2})^2
$$
由于$f’’(\xi)>0$，所以：
$$f(x)\ge f(\frac{a+b}{2})+f’(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})$$
两边取积分得：
$$
\begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)dx &\ge \int_{a}^{b}f(\frac{a+b}{2})dx+\int_{a}^{b}f’(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})dx\\
&=(b-a)f(\frac{a+b}{2})+f’(\frac{a+b}{2})\int_{a}^{b}(x-\frac{a+b}{2})dx\\
&=(b-a)f(\frac{a+b}{2})
\end{align*}
$$
所以
$$f(\frac{a+b}{2})\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$